L'attaccante sudamericano viene acquistato nel 1992 per pochi miliardi di lire dal Parma, società emergente del calcio italiano, affacciatasi per la prima volta alla ribalta della Serie A solo due anni prima e fresca vincitrice della Coppa Italia. Una realtà giovane che non tarderà a farsi un nome anche a livello continentale.
Asprilla, dopo un breve periodo di ambientamento e qualche diffidenza iniziale da parte dell'allenatore Scala, si impone come seconda punta titolare al fianco del bomber Alessandro Melli. La straordinaria velocità del colombiano, combinata con una buona tecnica individuale, ne fanno in breve tempo uno dei giocatori più spettacolari e imprevedibili del campionato italiano, grazie soprattutto alla sua agilità e alla caratteristica andatura caracollante. Chiude la prima stagione con 27 presenze e 7 gol in campionato; il più importante lo realizza a San Siro il 21 marzo 1993, quando grazie a una sua spettacolare punizione il Parma, battendo il Milan per uno a zero, interruppe lo storico record di 58 partite utili consecutive dei rossoneri.
Asprilla si fa conoscere subito a livello internazionale contribuendo in modo decisivo, con quattro reti, al primo successo europeo degli emiliani: la Coppa delle Coppe nel 1993. Spettacolare la doppietta realizzata in Semifinale con l'Atletico Madrid, al Vicente Calderon, che gli valse una telefonata di congratulazioni da parte del presidente colombiano. Chiuderà la prima esperienza emiliana alla fine dell'anno solare 1995, con un totale di 84 presenze e 25 gol in campionato, 24 presenze e 9 gol nelle coppe euopee, e tre trofei conquistati: una Coppa delle Coppe (1993), una Coppa Uefa (1995) e una Supercoppa Europea (1994). | 
